Мстислав Всеволодович Келдыш родился 29 января (10 февраля) 1911 г. в Риге в семье адъюнкт-профессора Рижского политехнического института, крупного инженера-строителя (впоследствии академика архитектуры) Всеволода Михайловича Келдыша. Мать — Мария Александровна (урожденная Скворцова) — домохозяйка. В 1915 г. семья Келдышей переехала из Риги в Москву. В 1919-1923 гг. жили в Иваново, где Всеволод Михайлович Келдыш преподавал в политехническом институте. В Иваново Мстислав Келдыш начал обучение в средней школе, получив необходимую начальную подготовку в домашних условиях у Марии Александровны. По возвращении в Москву (1923) учился в школе со строительным уклоном, летом ездил с отцом на стройки, работал разнорабочим. Склонность к математике у Келдыша проявилась еще в 7-8-м классах, учителя уже тогда отличали его незаурядные способности к точным наукам.

В 1927 г. Мстислав Келдыш окончил школу и хотел получить профессию инженера-строителя, однако в строительный институт, где преподавал отец, его не приняли по молодости лет (всего 16). По совету старшей сестры Людмилы, закончившей физико-математический факультет Московского государственного университета, занимавшейся математикой под научным руководством Н.Н. Лузина, он поступает на тот же факультет МГУ. Во время учебы в университете Келдыш завязал научные контакты с М.А. Лаврентьевым, переросшие потом в многолетнее научное сотрудничество и дружбу. С весны 1930 г. он одновременно с учебой начал работать ассистентом в Электромашиностроительном институте, затем еще и в Станко-инструментальном институте (СТАНКИН).

По окончании МГУ в 1931 г. по рекомендации академика А.И. Некрасова Келдыш был направлен в Центральный аэрогидродинамический институт имени Н.Е. Жуковского (ЦАГИ). Научную жизнь ЦАГИ в это время возглавлял С.А. Чаплыгин, под его руководством регулярно проводился семинар. Участниками семинара были также М.А. Лаврентьев, Н.Е. Кочин, Л.С. Лейбензон, А.И. Некрасов, Г.И. Петров, Л.И. Седов, Л.Н. Сретенский, Ф.И. Франкль, С.А. Христианович; многие из них впоследствии стали известными учеными-механиками. Келдыш проработал в ЦАГИ до декабря 1946 г. сначала инженером, затем — старшим инженером, начальником группы, а с 1941 г. — начальником отдела динамической прочности.

Начальный период работы Келдыша в ЦАГИ связан с исследованиями нелинейных задач обтекания. В работах этого периода - «Внешняя задача Неймана для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла в сжимаемом газе» (1934), «Строгое обоснование теории винта Жуковского» (1935), выполненных в соавторстве с Ф.И. Франклем, «К теории колеблющегося крыла» (1935), совместно с М.А. Лаврентьевым, было рассмотрено влияние сжимаемости среды на аэродинамические характеристики обтекаемых тел и обобщена известная теорема Жуковского о подъемной силе. Впервые установлено, что при определенных режимах колебаний крыла возникает тяга. Келдыш занимался теорией удара тела о жидкость и движением тел под поверхностью жидкости (поплавок гидросамолета, подводное крыло).

Продолжая работать в ЦАГИ, Келдыш поступил осенью 1934 г. в аспирантуру (дополненную затем двухлетней докторантурой) Математического института имени В.А. Стеклова АН СССР к Лаврентьеву, где занимался вопросами теории приближений функций, тесно связанными с прикладной тематикой его работы (гидро-, аэродинамика). В 1935 г. ему без защиты присвоена ученая степень кандидата физико-математических наук, в 1937 г. — степень кандидата технических наук и звание профессора по специальности "аэродинамика". 26 января 1938 г. М.В. Келдыш защитил докторскую диссертацию на тему «О представлении рядами полиномов функций комплексного переменного и гармонических функций».

Репрессии 1930-х не обошли стороной семью Келдышей. В 1935 г. несколько дней в заключение провела мать М.В. Келдыша - Мария Александровна. В 1936 г. был арестован брат Михаил, в то время аспирант исторического факультета университета, изучавший средневековую Германию. Он получил 10 лет без права переписки (как установлено впоследствии, был расстрелян весной 1937 г.). В 1938 г. по обвинению в шпионаже был арестован брат Александр, затем обвинение было изменено на антисемитизм. В суде обвинения были сняты, и он вышел на свободу.

Цикл работ Келдыша и его сотрудников, предвоенных и военных лет посвящен колебаниям и автоколебаниям авиационных конструкций. Его исследования заложили основы методов численного расчета и моделирования в аэродинамических трубах явления флаттера (сильные колебания крыльев самолета, возникавшие при определенных скоростях движения самолета и приводившие к его разрушению). Результаты Келдыша не только привели к разработке простых и надежных мер предотвращения флаттера, но и стали основой нового раздела науки о прочности авиационных конструкций. Результаты работы Келдыша сыграли большую роль в создании скоростной авиации в нашей стране.

В октябре 1941 г. Келдыш с женой Станиславой Валериановной и тремя детьми в числе других сотрудников ЦАГИ был эвакуирован в Казань, где продолжил работу. В апреле 1942 г. ему была присуждена Сталинская премия II степени за научные работы по предупреждению разрушения самолетов. В годы войны наряду с научно-экспериментальными исследованиями в ЦАГИ, Келдыш занимался внедрением разработанных рекомендаций в самолетные КБ и на авиационные заводы. Эта его деятельность была отмечена орденами Трудового Красного Знамени (1943) и Ленина (1945). В 1944 г. Келдыш был награжден медалью "За оборону Москвы".

К исследованиям авиационных колебаний и флаттера тесно примыкают исследования М.В. Келдыша устойчивости переднего колеса трехколесного шасси, позволившие предложить целесообразные и простые конструктивные мероприятия для устранения шиммирования (самовозбуждающихся поворотов и смещений) колеса самолета при взлете или посадке, которое приводило к разрушению переднего шасси самолета. В 1946 г. за исследования в этой области ему вторично присуждена Сталинская премия II степени.

Как математик Келдыш внес свой вклад в теорию функций, теорию потенциала, дифференциальные уравнения, функциональный анализ. Большое значение имеют результаты Келдыша в механике, охватывающие гидродинамику, аэродинамику, газовую динамику, механику самолетных конструкций. Многому научился Келдыш в общении с конструкторами самолетов, в первую очередь, С.А. Лавочкиным и А.Н. Туполевым.

29 сентября 1943 г. Мстислав Всеволодович Келдыш избран членом-корреспондентом АН СССР по Отделению физико-математических наук.

В июне 1944 г. Келдыш стал заведующим отделом механики в Математическом институте АН СССР и оставался в этой должности до 1953 г.

Одновременно Келдыш возобновил преподавательскую деятельность в МГУ (начавшуюся в 1932 г.), где читал лекции на механико-математическом и физико-техническом факультетах. Заведовал кафедрой термодинамики, руководил научно-исследовательским семинаром по теории функций комплексного переменного. С 1942 г. по 1953 г. Келдыш — профессор МГУ. Многие из его учеников того времени стали видными учеными, среди них академики А.А. Гончар, Д.Е. Охоцимский, Т.М. Энеев.

30 ноября 1946 г. М.В. Келдыш избран действительным членом (академиком) АН СССР по Отделению технических наук по специальности «математика, механика».

Начался новый период его деятельности. Сразу после избрания академиком он назначен начальником (с августа 1950 г. - научным руководителем) головного научно-исследовательского института (НИИ-1 Министерства авиационной промышленности), занимавшегося прикладными задачами ракетостроения. С этого времени основное направление деятельности Келдыша связано с ракетной техникой.

В послевоенные годы Келдыш также занимался решением проблем атомной энергетики и вычислительной математики. Потребовались новые методы исследования, прежде всего эффективные методы и средства математического расчета. Келдыш одним из первых сумел предугадать роль вычислительной математики в повышении эффективности научно-технического поиска. Познакомившись с создателями первой отечественной ЭВМ М.А. Лесечко и Ю.Я. Базилевским, он стал специалистом в этой области.

Келдыш был одним из инициаторов создания в 1951 г. Московского физико-технического института (в г. Долгопрудном Московской области). Некоторое время читал лекции, долгое время был заведующим кафедрой.

В 1953 г. М.В. Келдыш основал Институт прикладной математики АН СССР и являлся его бессменным директором. С деятельностью этого института во многом связано становление современной вычислительной математики в нашей стране.

С 1953 г. в Математическом институте АН СССР велись работы по решению задач выведения на орбиту Земли искусственного спутника, увенчавшиеся 4 октября 1957 г. его успешным запуском и выводом на орбиту. Решающую роль Келдыш сыграл в создании относительно дешевой ракеты - носителя для выведения на орбиту спутников по научным программам (спутники семейства "Космос"). Руководил "Лунной" программой, включая полеты автоматических станций семейства "Луна», участвовал в программах исследования Венеры и Марса.

В работах по созданию ракетно-ядерного щита М.В. Келдыш принимал участие и как руководитель больших коллективов и как автор многих научно-технических идей и вычислительных методов. В это время им опубликованы работы по оценке последствий ядерного взрыва: «Об оценке действия взрыва на больших высотах» (1950), совместно с Л.И. Седовым и «Точечный взрыв в атмосфере» (1955), совместно с Д.Е. Охоцимским и др.

В 1956 г. ему присвоено звание Героя Социалистического Труда, а в 1957 г. его научные достижения отмечены Ленинской премией.

Мстислав Всеволодович Келдыш внес выдающийся вклад в развитие советской космической науки и техники. Начав работать по космической тематике в 1946 г. в творческом сотрудничестве с С.П. Королевым, он явился одним из инициаторов широкого развертывания работ по изучению и освоению космоса. Велик его вклад в становление и успешное развитие таких научных направлений, как механика космического полета и космическая навигация.

Выявление новых научных и технических задач, развитие космической техники, формирование комплексных научно-технических программ, вопросы управления полетами — далеко не полный перечень проблем, входивших в круг деятельности Келдыша. В 1961 г. за особые заслуги в развитии ракетной техники, создании и успешном запуске 12 апреля 1961 г. первого в мире космического корабля "Восток" с человеком на борту он был второй раз удостоен звания Героя Социалистического Труда.

Большой период жизни Келдыша связан с его деятельностью в Президиуме Академии наук СССР, начавшейся в октябре 1953 г. и продолжавшейся до конца его жизни. С 1953 г. он академик-секретарь Отделения математики Академии наук. В 1960 г. избран вице-президентом, а в мае 1961 г. — президентом Академии наук СССР.

Возглавляя Академию наук СССР с 1961 по 1975 гг., Келдыш оказывал всемерную поддержку развитию в нашей стране не только математики и механики, но и новых направлений современной науки, таких, как кибернетика, квантовая электроника, молекулярная биология и генетика. В 1962 г. Президиум Академии наук СССР принял решение о строительстве комплекса биологических институтов в г. Пущино. При Келдыше состоялась комплексная проверка деятельности Т.Д. Лысенко, позволившая разоблачить псевдонаучные концепции "лысенковщины", отрицавшей генетику. В списках действительных членов Академии был посмертно восстановлен Н.И. Вавилов, получили подтверждение его заслуги в биологии и сельскохозяйственных науках.

Годы, когда пост президента Академии наук СССР занимал Келдыш, были периодом наиболее быстрого роста Академии, превращения ее в крупнейший центр фундаментальной науки. В 1971 г. за исключительные заслуги перед государством в развитии советской науки и техники, большую научную и общественную деятельность и в связи с 60-летием М.В. Келдыш стал трижды Героем Социалистического Труда.

Келдыш всемерно развивал международное научное сотрудничество и координацию научных исследований. С научными визитами посетил Германию и Англию (1965), Чехословакию (1963, 1970), Японию (1964), Польшу (1964, 1973), Францию (1965,1967), Румынию (1966), Болгарию (1966, 1969), Венгрию (1967), Канаду (1967), Италию (1969), Швецию (1969), Испанию (1970), США (первый официальный визит отечественной Академии наук за все время ее существования, 1972). Келдыш свободно говорил на немецком и французском языках, читал также на итальянском языке, уже в зрелом возрасте (после 50) стал изучать английский.

Заслуги М.В. Келдыша получили международное признание. Среди его званий: академик Германской академии естествоиспытателей "Леопольдина" (ГДР, 1961), академик Академии наук Монголии (1961), академик Академии наук Польши (1962), академик Академии наук Чехословакии (1962), почетный член Академии наук Румынии (1965), почетный иностранный член Академии наук Болгарии (1966), почетный иностранный член Американской Академии наук и искусств в Бостоне (1966), член-корреспондент Германской Академии наук в Берлине (1966), почетный член Королевского общества в Эдинбурге (1968), почетный член Академии наук Венгрии (1970), почетный член Академии Финляндии (1974); почетный доктор Делийского университета (1967), почетный доктор Будапештского университета (1967), почетный доктор Лагосского университета (Нигерия, 1968), почетный доктор Карлова университета в Праге (Чехословакия, 1974), почетный доктор Индийского статистического института (1974).

Большую работу вел Келдыш в Комитете по Ленинским и Государственным премиям СССР в области науки и техники, возглавляя его с 1961 г. до своей кончины.

Награжден орденами Ленина (1945, дважды 1954, 1956, 1961, 1967, 1975), Трудового Красного Знамени (1943, 1945, 1953), медалями "За доблестный труд в Великой Отечественной войне" (1945), "800 лет Москвы" (1947), "20 лет Победы" (1965), "За доблестный труд в ознаменование 100-летия со дня рождения В.И. Ленина" (1970), "30 лет Победы" (1975). Кавалер ордена "Почетного Легиона (Командор)" (1971), высших орденов ряда других стран. Золотая медаль имени М.В. Ломоносова АН СССР (1976).

10 января 1973 г. М.В. Келдыш перенес операцию на кровеносных сосудах, выполненную американским профессором М. Де Беки.

Умер Мстислав Всеволодович Келдыш 24 июня 1978 г. Урна с прахом Келдыша захоронена в Кремлевской стене на Красной площади в Москве.